sábado, 12 de mayo de 2012

eCUACIONES DEL TELEGRAFISTA!!!


Oliver Heaviside desarrolló un modelo matemático de línea de transmisión, conocido como ecuaciones del telégrafo, que describe la variación instantánea de la tensión y corriente eléctricas a lo largo de un conductor.
La teoría fue desarrollada para las líneas de transmisión de comunicaciones, como los hilos telegráficos y los conductores de radiofrecuencia; sin embargo, también es aplicable en su totalidad al diseño de las líneas de transmisión de potencia. Las ecuaciones constan de dos ecuaciones diferenciales lineales en función de la distancia y el tiempo: una para V(x, t) y otra para I(x, t). El modelo demuestra que la energía eléctrica puede reflejarse en la línea, y que se podían formar patrones de onda conocidos.

[editar]Ecuaciones

Las ecuaciones del telégrafo pueden entenderse como una simplificación de las ecuaciones de Maxwell. Para fines prácticos, se asume que el conductor está compuesto por una serie de redes bipuerto (cuadripolos) elementales, representando cada cual un segmento infinitesimal de la línea de transmisión. Un segmento infinitesimal de línea de transmisión queda caracterizado, por cuatro parámetros distribuidos, conocidos también habitualmente como parámetros primarios de la línea de transmisión.
  • La inductancia distribuida (expresada en henrios por unidad de longitud) debido al campo magnético alrededor conductor, se representa como una sola bobina en serie L. El parámetro L modela el proceso de almacenamiento energético en forma de campo magnético que se produce en la línea.
  • El comportamiento capacitivo distribuido (expresado en faradios por unidad de longitud) debido al campo eléctrico existente en el dieléctrico entre los conductores de la línea, se representa por un solo condensador en paralelo C, colocado entre "el conductor de ida" y "el conductor de retorno". El parámetro C modela el proceso de almacenamiento energético en forma de campo eléctrico que se produce en la línea.
  • La resistencia distribuida en el conductor (expresada en ohmios por unidad de longitud) se representa por un solo resistor en serie R. Este parámetro modela la disipación de potencia debido a la no idealidad de los conductores (pérdidas óhmicas).
  • La conductancia distribuida (expresada en mhos por unidad de longitud o siemens por unidad de longitud) se representa por una conductancia en paralelo G, colocada entre "el conductor de ida" y "el conductor de retorno". El parámetro G modela la disipación de potencia que se produce por la no idealidad del medio dieléctrico (pérdidas dieléctricas).

Cuando los parámetros R y G son muy pequeños, sus efectos se pueden ignorar, de manera que la línea de transmisión se puede considerar una estructura ideal y sin pérdidas. En este caso, el modelo depende sólo de los parámetros L y C, de los cuales obtenemos un par de ecuaciones diferenciales parciales, una de ellas para la tensión y otra para la corriente, a través de la línea, ambas en función de la posición o distancia x y del tiempo t.
\frac{\partial}{\partial x} V(x,t) = -L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t)
\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) = -C \frac{\partial}{\partial t} V(x,t)
Estas ecuaciones pueden combinarse para formar cualquiera de estas ecuaciones de onda exactas:
\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} V = \frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} V
\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I = \frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I
Si la línea posee una longitud infinita o está terminada en su impedancia características, estas ecuaciones nos indicarán además la presencia de una onda que viaja con velocidad c = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
(Nótese que esta velocidad de propagación sólo es aplicable a la onda y no tiene nada que ver con la velocidad de arrastre del electrón, caso aparte para el cual existen otras ecuaciones y otra teoría. Para una línea de transmisión lineal homogénea e isótropa, hecha de conductores perfectos y con vacío entre ellos, se puede demostrar que dicha velocidad es igual a la de la luz.)

[editar]Línea de transmisión disipativa

Cuando las pérdidas por disipación en los elementos R y G no son despreciables, las ecuaciones diferenciales originales que describen el cuadripolo elemental pasan a tener la forma
\frac{\partial}{\partial x} V(x,t) = -L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t) - R I(x,t)
\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) = -C \frac{\partial}{\partial t} V(x,t) - G V(x,t)
Derivando la primera ecuación respecto de x y la segunda respecto de t, obtendremos, con ayuda de manipulación algebraica, un par de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas de sólo una incógnita:
\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} V = L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} V + (R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} V + G R V
\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I = L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I + (R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} I + G R I
Nótese que las ecuaciones se parecen mucho a la ecuación de onda homogénea con términos adicionales en V e I y sus primeras derivadas. Estos términos adicionales en la ecuación son, físicamente, el efecto que causa el decaimiento (atenuación) y distorsión de la señal en la distancia y el tiempo.

[editar]Dirección de propagación de la señal

Las ecuaciones de onda indicadas líneas arriba nos muestran dos soluciones posibles para la onda viajera: una onda incidente (o progresiva) y una onda reflejada (o regresiva).
V(x,t) \ = \ f_1(\omega t-kx) + f_2(\omega t+kx)
donde
k = \omega \sqrt{LC} = {\omega \over v}
se llama número de onda y posee unidades de radianes por metro,
ω es la frecuencia angular o natural, en radianes por segundo,
f_1 y f_2 pueden ser cualesquiera funciones imaginables, y
v = { 1 \over \sqrt{LC} }
representa la velocidad de propagación de la onda.
f_1 representa una onda viajera según la dirección positiva de x, mientras que f_2 representa una onda viajera según la dirección negativa de x. Se puede decir que la tensión instantánea en cualquier punto x de la línea, V(x), es la suma de las tensiones de ambas ondas.
Dado que la corriente I guarda relación con la tensión V en las ecuaciones del telégrafo, podemos escribir
I(x,t) \ = \ { f_1(\omega t-kx) \over Z } - { f_2(\omega t+kx) \over Z }
donde
Z_0 = \sqrt { {L \over C} }
es la impedancia característica (en ohmios) de la línea de transmisión.
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